热膨胀 从自由伸长到约束热应力
把概念、模型计算与实测证据分开，阅读时留意条件、单位和比较口径。
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Fick 扩散说明边界怎样改变物质输运；温度引起的变形也需要先问边界。两根相同的杆经历同样的均匀升温，一根可以伸长，另一根两端间距不变，它们的轴向应力会很不同。仅知道温度变化，还不足以得到热应力。
本文限定为一维、小应变、均匀直杆的线弹性轴向模型：初始无应力，长度 L、截面积 A、杨氏模量 E 和线膨胀系数 α 恒定；整根杆有相同温度变化 ΔT，横向表面自由，没有外加轴向载荷。所有数值是教学合成参数，不对应某种真实材料，也不用于判断器件寿命或工程安全。
先把热应变、弹性应变和总应变分开
以初始温度 T₀ 和无应力长度 L 为参考，定义 ΔT=T−T₀，伸长和拉应力为正。恒定 α 下，自由热应变与自由伸长为：
ε_T = αΔT；δ_free = αΔT L。
α 的单位是 K⁻¹，ΔT 是温差；摄氏温差的数值与开尔文温差相同，但不能把摄氏温度读数直接当成 ΔT。αΔT 没有单位，再乘 L 才是长度。Nebraska 大学热应变讲义从自由伸长出发，并在小变形线性理论下叠加热与机械贡献。
杆受到轴向应力 σ 后，弹性应变为 ε_e=σ/E。几何上真正发生的总轴向应变记为 ε=u/L，其中 u 是右端相对左端的位移变化。因此本篇的本构关系是：
ε = ε_e + ε_T = σ/E + αΔT，也就是 **σ = E(ε−αΔT)**。
这里的 ε_T 是相同温变下材料的自由热应变；被约束后它仍是本构关系里的热贡献，不等于杆实际伸长除以 L。MIT 固体力学教材的应力—应变关系将热应变加入弹性本构；横向应力为零时，其轴向关系就化为上式。
不能直接写 σ=Eε_T。胡克定律中的 σ/E 对应弹性应变，热应变需要结合位移约束才能换算成应力。
自由伸长与完全约束为什么给出不同应力
先固定左端，只让它消除刚体平移，右端完全自由。没有外载，轴向力 N=0，因而 σ=N/A=0；于是 ε=ε_T，杆按 δ_free 伸长。单端固定本身不阻止轴向自由膨胀。
再把右端的轴向位移也锁住，保持两端间距不变。几何约束给出 u=0、ε=0，而不是 ε_T=0。代入本构关系：
σ = −EαΔT；N = −EAαΔT。
当 α＞0、ΔT＞0 时，热应变为正，弹性应变必须为负来抵消它，所以 σ＜0，杆受压。温度降低时，若连接始终能传递拉力，杆产生拉应力。若支承只是接触挡块，降温可能脱离接触，这时不能沿用同一个双向约束条件。
flowchart LR
A[给定参考温度与温差] --> B[算自由热应变]
B --> C{轴向边界是什么}
C -- 右端自由 --> D[轴向力为零]
C -- 两端间距固定 --> E[总轴向应变为零]
D --> F[总应变等于热应变]
E --> G[弹性应变抵消热应变]
G --> H[升温且膨胀系数为正时受压]
一组单位完整的手算
选取 L=0.50 m、A=100 mm²=10⁻⁴ m²、E=200 GPa=2×10¹¹ Pa、α=12×10⁻⁶ K⁻¹、ΔT=50 K。这是为了便于计算选择的参数组合，没有给它指定材料牌号。
- 热应变：ε_T=12×10⁻⁶×50=0.0006，即 600 με。微应变 με 表示 10⁻⁶ 的应变。
- 自由伸长：δ_free=0.0006×0.50=0.00030 m，即 0.30 mm。
- 完全轴向约束：σ=−2×10¹¹×0.0006=−1.2×10⁸ Pa，即 −120 MPa。
- 轴向力：N=σA=−1.2×10⁸×10⁻⁴=−12000 N，即 −12 kN。
在完全轴向约束公式中，L 没有出现，A 也没有出现；这只说明同一均匀温变下的轴向应力与它们无关。自由伸长仍与 L 成正比，轴向力仍与 A 成正比，而且长度、截面与支承会影响屈曲，不能据此说几何不重要。
支承会让步时，要同时写平衡与兼容
“约束一半”需要一个物理定义。这里选定一个可解的支承：左端轴向固定；右端通过刚度为 k 的理想线性弹簧连接到固定墙。弹簧初始无变形、不受温变影响，并能持续传递拉力与压力；没有间隙、摩擦、脱离接触或其他外载。右端向右位移 u 时，弹簧对杆施加向左的力 −ku。
杆的轴向刚度为 k_bar=EA/L，单位 N/m。注意 E 是材料模量，EA/L 才是整根杆的轴向刚度，两者的单位不同。
把 N 定义为拉力为正的杆内轴向力，右端力平衡给出 N=−ku。杆自身的本构与位移兼容给出 u=δ_free+NL/(EA)。联立得到：
**u = δ_free /(1+k/k_bar)**。
**σ = −EαΔT × r/(1+r)**，其中 **r=k/k_bar=kL/(EA)**。
这两式是本文对上述杆—弹簧系统的推导。MIT 热载荷习题解答在第12页把力平衡、含热伸长的本构关系与位移兼容分别列出；本例沿用这三类条件，没有把其中的多杆装配当作同一个弹簧模型。
当 ΔT≠0 且 α≠0 时，可以把结果写成两个便于比较的比例：
**u/δ_free = 1/(1+r)；σ/(−EαΔT) = r/(1+r)**。
两比例之和为 1：自由伸长的一部分成为端点位移，另一部分由弹性压缩或拉伸补偿。若 ΔT=0 或 α=0，原始 u、σ 公式仍给出零，但这些以零为分母的归一化比例没有定义。
同一根杆配不同支承，会得到什么
前述合成杆的 k_bar=EA/L=4×10⁷ N/m，即 40 MN/m。固定杆的 E、A、L、α 和温差，仅改变右端支承刚度：
| 右端支承 | r=k/k_bar | u / mm | σ / MPa | N / kN |
|---|---|---|---|---|
| 自由，k=0 | 0 | 0.300 | 0 | 0 |
| 弹簧，k=10 MN/m | 0.25 | 0.240 | −24 | −2.4 |
| 弹簧，k=40 MN/m | 1 | 0.150 | −60 | −6 |
| 弹簧，k=120 MN/m | 3 | 0.075 | −90 | −9 |
| 两端轴向位置固定 | r→∞ 的极限 | 0 | −120 | −12 |
第三行可以反查：k=40 MN/m 乘 u=0.000150 m 得弹簧力大小 6000 N；除以 A=10⁻⁴ m² 得压应力大小 60 MPa。弹性应变为 −0.0003，与热应变 +0.0006 相加，得到实际应变 +0.0003；再乘 L=0.50 m，恢复 u=0.150 mm。
把温差改为 −50 K 时，这个双向连接、始终线弹性的模型令 u、σ、N 全部反号。若仅有单向接触，这个反号检查就不能代替重新判断接触状态。
这里还可以看出一个容易忽略的几何效应：固定支承刚度 k 时，增加 A 会使杆更难被同一个弹簧约束，热应力的绝对值下降。完全约束下应力与 A 无关，是 r→∞ 的另一种边界；不能把两种比较条件混用。
用储能再核对一次部分约束
对于有限 k≥0 的理想系统，以右端位移 u 为唯一自由度，杆的弹性应变为 u/L−ε_T，因而杆与弹簧的总储能为：
U(u) = EA/(2L) × (u−δ_free)² + ku²/2。
热应变改变了杆的无应力长度，所以杆的弹性储能取决于 u−δ_free；自由升温时 u=δ_free，杆的弹性储能为零。这个 U 只计机械弹性储能，不是材料吸热量或完整热力学内能。
对 u 求导并令其为零：k_bar(u−δ_free)+ku=0，恢复上面的位移公式。二阶导数为 k_bar+k＞0，说明在只允许轴向位移的这个模型里解是唯一的能量极小值。这个结论没有检查横向弯曲自由度，不能据此宣称受压直杆一定稳定。
flowchart TD A[明确杆和支承的初始状态] --> B[杆本构给出热与弹性伸长] A --> C[支承力由端点位移确定] B --> D[位移兼容] C --> E[端点力平衡] D --> F[联立求端点位移和轴向力] E --> F F --> G[用弹性储能极小值交叉核对] G --> H[另查屈曲与材料非线性边界]
哪些改变会让这些公式失效
| 需要核对的条件 | 本文采用 | 条件改变后的问题 |
|---|---|---|
| 参考状态 | 初始无应力、弹簧无预变形 | 预紧、残余应力与装配温度要另计 |
| 应变与材料 | 小应变、线弹性、恒定 E 和 α | 塑性、蠕变、参数随温度变化 |
| 温度分布 | 整根杆均匀温变 | 温度沿长度或厚度变化，可能需要积分或弯曲模型 |
| 约束方向 | 仅限制轴向，横向表面自由 | 三维约束时要加入横向应力和泊松耦合 |
| 支承 | 固定墙与可传拉压的线性弹簧 | 间隙、摩擦、接触脱开、支承自身热变形 |
| 几何稳定 | 直杆轴向解 | 细长受压杆还需单独检查横向失稳 |
特别是 σ=−EαΔT 中的“完全约束”只指总轴向应变为零且横向应力为零，不是三个方向都锁死。三维各向同性约束需要完整本构，不能仅凭同一个“固定”字样套用轴向公式。
压应力也不等于“已经屈曲”，更不等于“不会屈曲”。细杆的弯曲刚度、长度、端部转动条件与初始缺陷共同影响稳定性。Jönköping 大学的屈曲教材从侧向平衡说明理想直杆的临界载荷及适用条件；本篇不指定截面二次矩和端部转动边界，因此没有计算屈曲温度。受压后是否仍能保持直杆形态，不能由上面的轴向储能单独回答。
在钙钛矿材料概念图涉及的器件语境中，薄膜与基底还可能有不同的膨胀系数和复杂界面约束；这里的单根均匀杆不能直接预测薄膜开裂。与一级衰减与 Arrhenius对照时，也要区分温度改变瞬时自由长度与温度改变某种动力学速率；它们需要各自的模型和证据。
自检：一根左端固定、右端自由的均匀杆升温50K，能直接算出−120MPa吗？
不能。左端固定只消除刚体平移，右端可以自由伸长；本篇无外载、均匀温变时轴向应力为零，实际伸长为0.30mm。−120MPa对应两端轴向间距固定，并保持线弹性直杆状态的另一种边界条件。
自检：支承刚度等于杆轴向刚度，是否意味着总应变为零？
不是。r=1时右端保留一半自由伸长，即0.150mm；热应变为+600微应变，弹性应变为−300微应变，总应变为+300微应变。应力为−60MPa，只达到完全轴向约束结果的一半。
内部数值检查位于 tests/verify-thermal-expansion-article.cjs：用独立分段杆刚度组装与力平衡求解核对随机参数，用一维储能的数值极小值交叉检查，另外验证单位、符号、极限与图中坐标。这些检查验证教学模型与图示一致，没有测量材料参数、验证真实支承或开展屈曲与寿命试验。
原始资料与继续阅读
- University of Nebraska–Lincoln：Thermal Strain：自由热伸长以及小变形线性理论下的热、机械应变叠加。
- MIT OpenCourseWare：1.050，Stress/Strain Relations：含温度变化的各向同性线弹性本构，尤其 PDF 第5页（正文203页）的热应变项。
- MIT OpenCourseWare：16.001，Problem Set 4 Solutions：文件第12—13页的热载荷装配问题，分别列出平衡、本构与兼容。
- Jönköping University：Applied Mechanics，Buckling：理想弹性柱的侧向稳定及其假设。
资料核对日期：2026-10-28。杆—弹簧算例、合成参数、手算与两张图为本文推导和制作。